בגרות 571 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 55
📄 נוסח השאלה
במשולש ABC, BD הוא תיכון לצלע AC. הנקודה E נמצאת על הצלע BC. הקטעים AE ו־BD נחתכים בנקודה P (ראו סרטוט). נתון: BP = 3 · PD.
את הזוויות ABP ו־BAP מסמנים בשאלון באותיות; כאן נכתוב ∢ABP ו־∢BAP. נתון: AB = k, ∢BAP < ∢ABP.
א. הביעו את AP ואת BP באמצעות ∢BAP, ∢ABP ו־k.
נתון: AE ⊥ BD, ושטח המשולש ABD הוא k24. ב. מצאו את ∢BAP.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEB.
ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC, כך שמתקיים ∢ABC = 90 מעלות. הביעו באמצעות k.
סעיף א – AP ו־BP
∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP)
APsin∢ABP = BPsin∢BAP = ABsin∢APB
📐 נוסחה: משפט הסינוסים
נציב AB = k ו־∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP):
APsin∢ABP = BPsin∢BAP = ksin(180 − (∢BAP + ∢ABP))
sin(180 − (∢BAP + ∢ABP)) = sin(∢BAP + ∢ABP)
📐 נוסחה: זוויות משלימות
נציב sin(180 − (∢BAP + ∢ABP)) = sin(∢BAP + ∢ABP) ונבודד:
📐 נוסחה: משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C
📐 נוסחה: זוויות משלימות
sin(180 − x) = sin x
סעיף א – AP ו־BP · המשך
נציב sin(180 − (∢BAP + ∢ABP)) = sin(∢BAP + ∢ABP) ונבודד:
AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
✅ פתרון סופי: AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
סעיף ב – גודל הזווית
AE ⊥ BD, ולכן ∢APB = 90 מעלות ו־∢BAP + ∢ABP = 90. אז sin(∢BAP + ∢ABP) = 1 ו־sin∢ABP = cos∢BAP:
AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
נציב sin∢ABP = cos∢BAP ו־sin(∢BAP + ∢ABP) = 1:
AP = k · cos∢BAP1 = k · cos∢BAP
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
נציב sin(∢BAP + ∢ABP) = 1:
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
נציב sin(∢BAP + ∢ABP) = 1:
BP = k · sin∢BAP1 = k · sin∢BAP
BD = BP + PD
נציב PD = BP3 (נתון BP = 3PD):
BD = BP + BP3 = 43BP
נציב BP = k · sin∢BAP:
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
נציב BP = k · sin∢BAP:
BD = 43k · sin∢BAP
AP ⊥ BD, ולכן AP הוא הגובה מ־A לצלע BD במשולש ABD:
SABD = ½ · BD · AP
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב BD = 43k · sin∢BAP ו־AP = k · cos∢BAP:
SABD = ½ · 43k · sin∢BAP · k · cos∢BAP
📐 נוסחה: שטח משולש
S = בסיס · גובה2
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
SABD = ½ · 43k · sin∢BAP · k · cos∢BAP
נציב SABD = k24 (נתון):
23k2 sin∢BAP cos∢BAP = k24
sin∢BAP cos∢BAP = 38
נכפול ב־2, כדי לקבל סינוס של זווית כפולה:
2 sin∢BAP cos∢BAP = 2 · 38
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
2 sin∢BAP cos∢BAP = 2 · 38
נציב 2 sin∢BAP cos∢BAP = sin(2∢BAP):
sin(2∢BAP) = 2 · 38 = 0.75
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
2∢BAP ≈ 48.59 או 2∢BAP ≈ 131.41
∢BAP ≈ 24.3 או ∢BAP ≈ 65.7
∢BAP < ∢ABP ו־∢BAP + ∢ABP = 90, ולכן ∢BAP < 45: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות.
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2sin x cos x
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
∢BAP < ∢ABP ו־∢BAP + ∢ABP = 90, ולכן ∢BAP < 45: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות.
✅ פתרון סופי: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות
סעיף ג – יחס הרדיוסים
RAEC = AC2sin∢AEC , RAEB = AB2sin∢AEB
📐 נוסחה: משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם)
sin∢AEC = sin∢AEB
📐 נוסחה: זוויות צמודות
נחלק את שני הרדיוסים; sin∢AEC = sin∢AEB מצטמצמים:
RAECRAEB = ACAB
נציב AB = k:
RAECRAEB = ACk
📐 נוסחה: משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם)
asin∢A = 2R
📐 נוסחה: זוויות צמודות
sin(180 − x) = sin x
סעיף ג – יחס הרדיוסים · המשך
RAECRAEB = ACk
נחשב את AC: D אמצע AC, ולכן AC = 2AD. במשולש ישר הזווית APD:
AP = k · cos∢BAP
נציב ∢BAP ≈ 24.3:
AP = k · cos24.3 ≈ 0.9114k
PD = BP3
סעיף ג – יחס הרדיוסים · המשך
PD = BP3
נציב BP = k · sin∢BAP ו־∢BAP ≈ 24.3:
PD = k · sin24.33 ≈ 0.1371k
AD = √AP2 + PD2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
נציב AP ≈ 0.9114k ו־PD ≈ 0.1371k:
AD ≈ √(0.9114k)2 + (0.1371k)2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ג – יחס הרדיוסים · המשך
AD ≈ √(0.9114k)2 + (0.1371k)2
AD ≈ √0.8306 + 0.0188 · k
AD ≈ 0.9216k
AC = 2 · AD
נציב AD ≈ 0.9216k:
AC ≈ 2 · 0.9216k ≈ 1.843k
סעיף ג – יחס הרדיוסים · המשך
AC ≈ 2 · 0.9216k ≈ 1.843k
נציב AC ≈ 1.843k ביחס הרדיוסים:
RAECRAEB ≈ 1.843kk ≈ 1.843
✅ פתרון סופי: RAECRAEB ≈ 1.843
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC
הערה: בסעיף זה משתמשים בנתונים BP = 3PD ו־AE ⊥ BD יחד עם ∢ABC = 90 (נתון השטח מסעיף ב לא מתיישב עם זווית ישרה ב־B, ולכן לא משתמשים בו כאן).
נסמן PD = t, אז BP = 3t, ו־AP = h. D אמצע AC, ולכן C נמצאת במרחק 2t מהישר AE בצד של D, ובמרחק h מתחת לישר BD (סימטרייה סביב D).
נשתמש בזווית ∢ABC = 90: במשולש ישר הזווית ABP, ∢ABP = 90 − ∢BAP, ולכן ∢PBC = ∢BAP. מהמשולש ABP: tan∢BAP = BPAP = 3th.
מהנקודה C נוריד אנך לישר BD: הרגל שלו נמצאת במרחק 3t + 2t = 5t מ־B, וגובהו h. לכן tan∢PBC = h5t.
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC · המשך
מהנקודה C נוריד אנך לישר BD: הרגל שלו נמצאת במרחק 3t + 2t = 5t מ־B, וגובהו h. לכן tan∢PBC = h5t.
tan∢BAP = tan∢PBC
נציב tan∢BAP = 3th ו־tan∢PBC = h5t:
3th = h5t ⇐ h2 = 15t2 ⇐ h = √15t
AB2 = BP2 + AP2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
נציב AB = k , BP = 3t ו־AP = h = √15t:
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC · המשך
נציב AB = k , BP = 3t ו־AP = h = √15t:
k2 = (3t)2 + (√15t)2 = 24t2
t = k√24
AC = 2AD = 2√PD2 + AP2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש APD
נציב PD = t ו־AP = h = √15t:
AC = 2√t2 + (√15t)2 = 2√16t2 = 8t
📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש APD
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC · המשך
AC = 2√t2 + (√15t)2 = 2√16t2 = 8t
E על BC ועל הישר AP: מדמיון המשולשים BPE ו־(המשולש שיוצר האנך מ־C), PE = 35h. במשולש ישר הזווית שבין E, C והאנך מ־C לישר AE: הניצבים 2t ו־25h:
EC = √(2t)2 + (25h)2 = √4t2 + 425 · h2
נציב h2 = 15t2:
EC = √4t2 + 425 · 15t2 = √6.4t
sin∢AEC = 2tEC
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC · המשך
sin∢AEC = 2tEC
נציב EC = √6.4t:
sin∢AEC = 2t√6.4t = 2√6.4
RAEC = AC2sin∢AEC
📐 נוסחה: משפט הסינוסים
נציב AC = 8t ו־sin∢AEC = 2√6.4:
RAEC = 8t2 · 2√6.4 = 8t · √6.44
📐 נוסחה: משפט הסינוסים
asin∢A = 2R
סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC · המשך
RAEC = 8t2 · 2√6.4 = 8t · √6.44
RAEC = 2√6.4t
נציב t = k√24:
RAEC = 2√6.4 · k√24
RAEC = 4k√15 ≈ 1.033k
✅ פתרון סופי: RAEC = 4k√15 ≈ 1.033k
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
סעיף ב
∢BAP ≈ 24.3 מעלות
סעיף ג
≈ 1.843
סעיף ד
4k√15 ≈ 1.033k
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא